Equazione di Schroedinger

L’equazione di Schrödinger rappresenta una delle più importanti conquiste della fisica ed in particolare della meccanica quantistica. Quest’ultima, risalente alla metà degli anni venti, ha preso due direzioni principali: una, battuta da Heisenberg, Bohr, Jordan, che si basa sull’approccio matriciale, l’altra, sviluppata soprattutto da de Broglie e Schrödinger, si basa sull’approccio ondulatorio.

In questa seconda visione si rappresentano le particelle attraverso le così dette funzioni d’onda, poiché le evidenze sperimentali (vedi, ad esempio, l’esperimento di Davisson e Germer) confermavano che anche le particelle posseggono comportamenti ondulatori.

 Le ipotesi di de Broglie

I risultati ottenuti con l’ipotesi di de Broglie portarono allo sviluppo della meccanica quantistica intesa come meccanica ondulatoria. Con de Broglie si associa ad ogni particella un pacchetto d’onda del tipo:

che si propaga con velocità di gruppo:

dove ω è la frequenza angolare o pulsazione intesa come quella centrale del pacchetto d’onde, è il vettore d’onda che identifica la direzione di propagazione del pacchetto, E è l’energia associata alla particella e p il suo impulso cinetico.

Una volta associato il pacchetto d’onda alla particella era necessario scoprire quale equazione fosse in grado di descrivere l’evoluzione del pacchetto d’onda compatibilmente alla meccanica quantistica e interpretarne le soluzioni. In tal senso applicando l’operatore di D’Alembert al pacchetto d’onde si ottiene:

tenendo presente la relazione relativistica dell’energia:

L’equazione scritta sopra è l’equazione di Klein-Gordon: equazione in cui appare un termine a secondo membro che è un termine di sorgente della particella con lunghezza d’onda di Compton. Per particelle con massa nulla come i fotoni l’equazione di Klein-Gordon è una normale equazione di D’Alembert che descrive la propagazione di un’onda elettromagnetica. Formalmente tale equazione è ottenibile mediante le sostituzioni:

L’equazione di Schrödinger

L’equazione di Schrödinger si ottiene dall’equazione di Klein-Gordon nel limite non relativistico, cioè considerando per l’energia lo sviluppo in serie al primo ordine:

definendo la frequenza angolare ω’ non relativistica ottenuta da:

In tal modo usando l’espressione dell’energia non relativistica, l’equazione di klein-Gordon diventa l’equazione di Schrödinger per la particella libera:

In presenza di un potenziale reale , l’equazione di Schrödinger diventa:

Equazione di continuità

Dall’equazione di Schrödinger deriva un’equazione di continuità, infatti moltiplicando l’equazione per la sua complessa coniugata :

dalla quale si vede che chiamando:

ρ = | ψ | ²

e

si deduce l’equazione di continuità:

Con questa equazione di continuità nascono difficoltà interpretative della funzione d’onda e delle soluzioni dell’equazione di Schrödinger. Inizialmente la ρ veniva interpretata come la densità di materia contenuta nel volume e l’equazione di continuità rappresentava così la conservazione della massa. Ma questa interpretazione risultò scorretta. Le evidenze sperimentali della diffrazione di elettroni invece indicavano che gli elettroni avevano un carattere ondulatorio cioè interferivano come le onde luminose e tuttavia si comportavano anche come particelle quando erano prese isolate: per spiegare la diffrazione e l’interferenza di elettroni la funzione d’onda deve essere concepita come una proprietà d’insieme delle particelle, cioè di un pacchetto d’onda piuttosto che come proprietà di una singola particella. Dall’esperimento della diffrazione da due fenditure si evince che gli elettroni interferiscono come onde per le quali si sommano le ampiezze; per esempio nel caso di due onde sull’asse x :

ψ(x) = ψ₁(x) + ψ₂(x)

Per ricondursi al comportamento di una singola particella bisogna introdurre concetti statistici: allora la probabilità associata alle due onde nell’attraversare una o l’altra fenditura è:

cioè possiede termini di interferenza. Allora la giusta interpretazione della funzione d’onda è quella di probabilità. In ogni caso l’equazione di continuità permette di identificare la classe di funzioni accettabili come soluzioni dell’equazione di Schrödinger, esse sono le funzioni complesse definite su a quadrato sommabile, infatti deve essere:

cioè l’integrale deve convergere ad un numero N finito: questa costante viene scelta N = 1 per compatibilità con il significato probabilistico della funzione d’onda. Quindi le funzioni accettabili come soluzione sono le funzioni che appartengono ad uno spazio lineare complesso chiamato spazio di Hilbert.

Proprietà dell’equazione di Schrödinger

Abbiamo stabilito che l’equazione di Schrödinger è un’equazione al primo ordine nel tempo e che la sua soluzione più generale è del tipo pacchetto d’onde in termini di impulso, in una dimensione:

dove il fattore prima dell’integrale è dovuto alla corretta normalizzazione, dovuta alla interpretazione probabilistica della funzione d’onda. In effetti essendo un’equazione differenziale al primo ordine nel tempo, l’equazione di Schrödinger deve essere accompagnata dalla condizione iniziale della funzione d’onda, per esempio al tempo t = 0 la funzione d’onda:

in modo che la sua evoluzione nel tempo esista determinata per ogni istante t. Abbiamo stabilito anche che la giusta interpretazione della funzione d’onda è che:

P(x,t)dx = | ψ(x,t) | ²dx

rappresenta la probabilità che la particella si trovi nell’intervallo x,x + dx, avendo l’accortezza di normalizzare la funzione d’onda:

che rappresenta il fatto che la probabilità di trovare la particella in qualche punto dello spazio (in questo caso siamo su una retta perché stiamo prendendo solo il caso unidimensionale, ma tutto ciò vale anche nel caso tridimensionale), deve essere 1 con certezza. Abbiamo inoltre stabilito che le funzioni accettabili come soluzioni dell’equazione di Schrödinger sono le funzioni definite in un campo vettoriale complesso e che siano a quadrato sommabili, cioè sia sempre verificata:

e il fatto che sia lineare implica che possiamo considerare la sovrapposizione:

ψ(x,t) = c₁ψ₁(x,t) + c₂ψ₂(x,t)

dove che suggerisce valevole il principio di sovrapposizione, essa è anche soluzione dell’equazione di Schrödinger. Un’altra caratteristica delle soluzioni dell’equazione di Schrödinger è che se il modulo quadro della funzione d’onda è importante perché rappresenta una probabilità, la fase dell’onda invece non ha rilevanza fisica.

Valori medi nelle rappresentazioni dell’impulso e della posizione

Poiché il significato della funzione d’onda è probabilistico si può parlare di valore medio di una grandezza fisica. Il valore medio della posizione (unidimensionale per semplicità) nella rappresentazione delle coordinate è dato:

e più in generale una qualsiasi funzione di x:

Il valore medio dell’impulso è invece per analogia con il caso classico:

Risolvendo l’integrando che è uguale a:

si vede che:

cioè

che è la definizione dell’impulso nella rappresentazione delle coordinate e più in generale qualsiasi funzione di p:

Nella rappresentazione degli impulsi il valor medio dell’impulso è semplicemente:

con il significato che | φ(p) | ²dp rappresenta la probabilità che la particella o il sistema abbia momento p determinato nell’intervallo p,p + dp. Il valor medio di una qualsiasi funzione di p in questa rappresentazione è dato:

Vediamo infine che la posizione nello spazio delle coordinate è:

cioè

che è la definizione della posizione nella rappresentazione dell’impulso e più in generale qualsiasi funzione di x:

Da notare la simmetria delle due rappresentazioni. Vediamo che la posizione x e l’impulso p devono avere valore medio reale, poiché sono grandezze fisiche devono essere direttamente misurabili, cioè sono osservabili del sistema, per cui deve valere:

e

cioè in meccanica quantistica le grandezze fisiche di interesse, le osservabili, tra le quali la posizione e l’impulso, sono operatori hermitiani e questo si può verificare direttamente.

Se calcoliamo il commutatore tra la posizione e l’impulso nell’asse x:

cioè si ottiene una delle parentesi fondamentali della commutazione in meccanica quantistica:

che significa che non si possono misurare simultaneamente posizione e impulso in una direzione con precisione. Mentre:

Queste parentesi sono le parentesi fondamentali della meccanica quantistica ed esprimono il principio di indeterminazione di Heisenberg.

L’operatore hamiltoniano

Poiché gli operatori posizione e impulso sono operatori hermitiani, l’equazione di Schrödinger per la particella libera si può scrivere:

dove interviene l’operatore impulso . Generalizzando al caso della presenza di potenziale reale :

Queste due equazioni sono le equazioni fondamentali della meccanica quantistica e si può anche scrivere in forma più generale:

introducendo l’operatore hamiltoniano che rappresenta l’operatore energia che di volta in volta a seconda del problema bisogna scegliere con attenzione. Il valor medio dell’operatore hamiltoniano che deve essere hermitiano è:

Ogni operatore che rappresenta una grandezza fisica in meccanica quantistica ha valor medio calcolabile:

Soluzione generale dell’equazione di Schrödinger

L’equazione di Schrödinger è l’equazione fondamentale della meccanica quantistica. La sua risoluzione in molti casi non è possibile. Tuttavia esiste un metodo di risoluzione generale che va sotto il nome di metodo di fourier per la soluzione di equazioni differenziali, che permette subito di ottenere importanti informazioni sul sistema ed è un metodo generale applicabile in molti problemi fisici di interesse.

Infatti esplicitiamo l’operatore hamiltoniano dell’equazione di Schrödinger unidimensionale:

(1)

l’equazione può essere fattorizzata per variabili, cioè la soluzione può scriversi:

(2)

dove T(t) è una funzione che contiene solo la variabile temporale e X(x) contiene solo la variabile coordinata. Sostituendo la (2) nella (1) si ha:

(3)

Separando le variabili ai due membri cioè dividiamo ambo i membri per e otteniamo che entrambi i membri devono essere uguali ad una stessa costante che chiamiamo E:

(4)

Quindi abbiamo due equazioni separate:

(5)

(6)

L’equazione (5) si risolve subito:

(7)

dove C è una costante, questa dà la dipendenza dal tempo della funzione d’onda ψ(x,t). La seconda equazione (6) è detta equazione di Schrödinger indipendente dal tempo ed ha la forma di un’equazione agli autovalori per l’operatore hamiltoniano infatti:

(8)

essa rappresenta gli stati stazionari del sistema, cioè gli stati che non dipendono dal tempo. Questa equazione si risolve trovando lo spettro degli autovalori che può essere discreto o continuo o nel caso più generale sia discreto che continuo e quindi degli autovettori associati in modo che nel caso più generale la funzione d’onda si può scrivere:

(9)

dove C_E,C(E) sono coefficienti dipendenti da E, i primi nel caso discreto e i secondi nel caso continuo, mentre E rappresenta l’energia del sistema. Quindi l’operatore hamiltoniano fornisce la dipendenza temporale della funzione d’onda e permette tramite la soluzione dell’equazione di Schrödinger di risolvere il problema agli autovalori per l’energia.

Supponiamo inizialmente che la soluzione dell’equazione di Schrödinger indipendente dal tempo (9) abbia uno spettro discreto di autovalori, allora la funzione d’onda ψ(x) può essere sviluppata per la (9) come:

(10)

ψ(x) =	∑	CEuE(x)
	E

dove i coefficienti C_E sono automaticamente determinati, infatti:

(11)

dove u_E(x) sono ancora le autofunzioni dell’energia. L’unica restrizione è che la funzione d’onda deve essere normalizzata e a quadrato sommabile:

(12)

e di conseguenza anche le autofunzioni devono essere normalizzate:

(13)

L’equazione di Schrödinger dipendente dal tempo si scrive:

(14)

La soluzione della (13) con la sostituzione della (10) è:

(15)

quindi la funzione d’onda completa è:

(16)

Se lo spettro è continuo invece si può sviluppare la funzione d’onda in termini di autofunzioni di energia nel modo:

(17)

dove u_E(x) sono ancora autofunzioni dell’energia, e questi devono essere normalizzate:

(18)

dove interviene la funzione Delta di Dirac. I coefficienti C(E) sono automaticamente determinati, infatti:

(19)

quindi la funzione d’onda completa è:

L’equazione di Schrödinger unidimensionale ammette una proprietà speciale: non esistono degenerazioni dei livelli di energia: ad ogni autovalore E_n discreto corrisponde un solo autostato.

L’equazione di Schrödinger, però, non rappresenta le particelle che si muovono a velocità ed energia relativistica. Risultò, pertanto, fondamentale introdurre anche il formalismo della relatività speciale, che portò alle due equazioni di Klein Gordon e di Dirac, che rappresentano, rispettivamente, particelle a spin 0 (dette anche particelle scalari) e particelle a spin .

MI SCUSO PER L’ASSENZA DEL CONTRIBUTO DI KLEIN-GORDON ALLA FORMULAZIONE DELL’EQUAZIONE DI SCHROEDINGER…AD OGNI MODO ASPETTO COMMENTI..